Численные методы. Вопросы к экзамену
1. Задача интерполирования в классе алгебраических многочленов.
Интерполяционный многочлен Лагранжа.
Линейная и параболическая интерполяция.
Оценка погрешности интерполирования.
2. Задача кратного интерполирования.
Многочлен Эрмита.
Задача численного дифференцирования.
Простейшие формулы и порядок аппроксимации.
3. Сплайн-интерполирование.
Сетка узлов.
Линейный сплайн. Геометрическая интерпретация.
Кубический сплайн. Краевые условия.
4. Задача наилучшего приближения на основе минимаксного критерия.
Решение задачи чебышёвской интерполяции.
Задача наилучшего приближения на основе метода наименьших квадратов.
Необходимое и достаточное условие минимума.
5. Задача численного интегрирования.
Терминология.
Степень точности квадратурной формулы.
Простейшая и составная формулы средних прямоугольников.
Оценка погрешности. Порядок и степень точности.
6. Задача численного интегрирования.
Общая интерполяционная формула.
Простейшая и составная формулы трапеций.
Оценка погрешности. Порядок и степень точности.
7. Задача Коши.
Численный подход к решению.
Локальная и глобальная оценки погрешности.
Построение простейших расчетных формул:
метод Эйлера,
метод трапеций,
метод Эйлера с пересчетом.
8. Задача Коши.
Методы Рунге-Кутта: общая схема, выбор параметров.
Одноэтапный метод.
Двухэтапная схема и выбор параметров.
Метод Эйлера с пересчетом, метод средней точки.
9. Задача Коши.
Методы Адамса: общая схема, погрешность аппроксимации.
Одношаговая схема: метод трапеций, метод Эйлера.
Метод прогноза и коррекции.
10. Линейная краевая задача для уравнения второго порядка.
Разностная краевая задача (разностная схема).
Погрешность и порядок аппроксимации.
Погрешность приближенного решения.
Структура линейной системы уравнений.
11. Линейная краевая задача для уравнения второго порядка.
Редукция к вариационной задаче.
Метод Ритца: система базисных функций, структура приближенного решения.
Конечномерная задача и ее решение.
12. Основные понятия теории разностных схем.
Дифференциальная задача. Дискретизация.
Разностная схема.
Аппроксимация.
Корректность, устойчивость.
Сходимость.
13. Начально-краевая задача для уравнения теплопроводности.
Дискретизация.
Явная разностная схема.
Аппроксимация.
Устойчивость.